число пи

1. Иррациональность и трансцендентность [ ред. | ред. код ]
2. античность [ ред. | ред. код ]
3. Второе тысячелетие нашей эры [ ред. | ред. код ]
4. Вычисления в эпоху компьютеров [ ред. | ред. код ]
5. Формула братьев Чудновский [ ред. | ред. код ]
6. Представление в виде цепной дроби [ ред. | ред. код ]
7. Использование в физике [ ред. | ред. код ]

В Википедии есть статьи о других значение этого термина: Пи (значения) .

Число пи (обозначается π {\ displaystyle \ pi} ) - математическая константа , Что определяется в евклидовой геометрии как отношение длины круга l {\ displaystyle l} к его диаметра d {\ displaystyle d} .

π = l d {\ displaystyle \ pi = {\ frac {l} {d}}}

или как площадь круга единичного радиуса .

Число π {\ displaystyle \ pi} возникло в геометрии как отношение длины окружности к длине ее диаметра , Однако оно появляется и в других областях математики . Впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский ( валлийский ) Математик Уильям Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера (1737) [1] . Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια - окружение, периферия и περίμετρος - периметр .

Поскольку π является иррациональным числом Его нельзя выразить дробью (Или что то же, его десятичное представление является бесконечным и непериодическим). Однако дроби такие как 22/7 и другие часто применяются для приближения числа π.

Считается, что различные цифры в десятичной представлении числа π встречаются одинаково часто (т.е. π является нормальным числом ), Однако это не доказано. Также π является трансцендентным числом - то есть не является корнем ни ненулевого полинома с рациональными коэффициентами. Из этого следует что невозможно решить известную античную задачу о квадратуру круга с помощью циркуля и линейки .

Древние цивилизации пользовались приблизительным значением числа π в практических целях. В V веке н. е. китайские математики с помощью геометрических методов вычисляли его до седьмого знака после запятой, а индийские - до пятого. Первой удобной формулой для приближенного вычисления числа π формула, основанная на сумме сходящегося числового ряда, которая называется формулой Лейбница. [2] [3]

Иррациональность и трансцендентность [ ред. | ред. код ]

Иррациональность числа π {\ displaystyle \ pi} была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1767 году путем разложения числа e - 1 2 n {\ displaystyle {\ frac {e-1} {2 ^ {n}}}} в непрерывный дробь . В 1794 -м Лежандр дал строго доказательства иррациональности чисел π и π2.

В 1882 году профессору Кенигсбергского , позже мюнхенского университетов Фердинанду фон Линдеман удалось доказать трансцендентность числа π. Доказательство этого факта упростил Клейн в 1894 года. Его рассуждения были в работе «Вопрос элементарной и высшей математики», ч. 1, вышедшей в Геттингене в 1908

Поскольку в Евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности есть функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуру круга , Которая длилась более 2,5 тысячи лет.

Самыми известными формулами с числом π {\ displaystyle \ pi} являются:

2 π = 2 2 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 + 2 + 2 2 ⋅ ... {\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdot \ ldots} 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 марта ⋅ 4 Мая ⋅ 6 мая ⋅ 7 июня ⋅ 8 Июля ⋅ 9 Августа ⋯ = π 2 {\ displaystyle {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3 }} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdots = {\ frac {\ pi} {2}}} 1 1 - 1 3 + 1 Мая - 1 7 +1 9 - ⋯ = π 4 {\ displaystyle {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}}

π = 4 - 8 Σ k = 1 ∞ (1 (4 k - 1) (4 k + 1)) {\ displaystyle \ pi = 4-8 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ( {\ frac {1} {(4k-1) (4k + 1)}} \ right)}

e π i + 1 = 0 {\ displaystyle e ^ {\ pi i} + 1 = 0 \;} ∫ - ∞ ∞ e - x 2 dx = π {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ e ^ {- x ^ {2}} {dx} = {\ sqrt {\ pi}} }

античность [ ред. | ред. код ]

Самые ранние письменные приближенные значения числа π {\ displaystyle \ pi} датируются почти 1900 годом д.р. е .; это 256/81 ≈ 3.160 (Египет) и 25/8 = 3.125 (Вавилон), оба в пределах 1 процента истинного значения. [4] Индийский текст Шатапатха-Брахмана дает значение π {\ displaystyle \ pi} как 339/108 ≈ 3.139. Считается, что в параграфе из книги Царств 7:23 и Хроник 4: 2, в котором описывается церемониальный бассейн в церкви царя Соломона диаметром в десять локтей и периметром в тридцать локтей, говорится о числе π {\ displaystyle \ pi} примерно равным трем, что определенные ученые пытались объяснить через различные предположения такие как шестиугольный бассейн изогнутый наружу ободок. [5]

Архимед (287-212 до н.э.), возможно, первым предложил метод вычисления π {\ displaystyle \ pi} математическим способом. Для этого он вписывал в окружность и описывал у него правильные многоугольники . Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Таким образом, для шестиугольника получается 3 <π <2 3 {\ displaystyle 3 <\ pi <2 {\ sqrt {3}}} .

Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку 3 + 10 71 <π <3 + 1 7 {\ displaystyle 3 + {\ frac {10} {71}} <\ pi <3 + {\ frac {1} {7} }} .

Птолемей в своем Альмагесте дает значение 3,1416, которое он мог получить в Аполлония с Перги . [6]

Около 265 года н. е. математик Лю Хуэй нашел простой и точный способ итерационного алгоритма расчета числа π {\ displaystyle \ pi} с любой точностью. Он лично доказал расчет до 3072-уголка и получил приближенное значение π {\ displaystyle \ pi} ≈ 3,1416. [7] Позже Лю Хуей изобрел быстрый способ расчета π {\ displaystyle \ pi} и получил приближенное значение 3.14, проведя расчет только для 96-уголка [7] и воспользовался тот факт, что разница в площади между серией многоугольников образуют геометрическую прогрессию кратную 4.

Около 480 года китайский математик цу Чунчжи продемонстрировал. что π {\ displaystyle \ pi} ≈ 355/113 (≈ 3.1415929), и показал, что 3.1415926 <π {\ displaystyle \ pi} <3.1415927 [7] , Использовав метод Лю Хуейя доказал расчет в 12288-уголка. Это значение оставалось самым точным приближением π {\ displaystyle \ pi} в течение 900 лет.

В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближения 62832/20000 = 3,1416.

Второе тысячелетие нашей эры [ ред. | ред. код ]

Ко второму тысячелетию н. е. число π {\ displaystyle \ pi} было рассчитано с точностью не более 10 цифр в записи числа. Следующий большой прогресс в изучении числа π {\ displaystyle \ pi} пришел с развитием бесконечных рядов и, соответственно, с открытием математического анализа , Что позволило рассчитывать π {\ displaystyle \ pi} с любой желаемой точностью рассматривая необходимое количество членов такого ряда. Около 1400 Мадхава Сангамаграма нашел первый из таких рядов:

π = 4 Σ k = 0 ∞ (- 1) k 2 k + 1 = 4 1 - 4 + 3 + 4 5 - 4 7+ 4 9 - 4 11+ ⋯ {\ displaystyle {\ pi} = 4 \ sum _ { k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {2k + 1}} = {\ frac {4} {1}} - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {4} {5}} - {\ frac {4} {7}} + {\ frac {4} {9}} - {\ frac {4} {11}} + \ cdots \!}

Сейчас этот ряд известен как ряд Мадхава-Лейбница [8] [9] или ряд Грегори-Лейбница поскольку его снова открыли Джеймс Грегори и Готфрид Лейбниц в 17-том веке. Однако, скорость восхождения слишком медленная, чтобы рассчитать много значащих цифр на практике; надо добавить около 4000 членов ряда, чтобы усовершенствовать приближения Архимеда. Однако, превратив ряд в следующий вид

π = 12 Σ k = 0 ∞ (- 3) - k 2 k + 1 = 12 Σ k = 0 ∞ (- 1 3) k 2 k + 1 = 12 (1 - 1 3 ⋅ 3 + 1 Мая ⋅ 3 2 - 1 Июля ⋅ 3 марта + ⋯), {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ pi & = {\ sqrt {12}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-3 ) ^ {- k}} {2k + 1}} = {\ sqrt {12}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(- {\ frac {1} {3}} ) ^ {k}} {2k + 1}} \\ & = {\ sqrt {12}} \ left (1- {1 \ over 3 \ cdot 3} + {1 \ over 5 \ cdot 3 ^ {2} } - {1 \ over 7 \ cdot 3 ^ {3}} + \ cdots \ right), \ end {aligned}}}

Мадхава смог рассчитать π {\ displaystyle \ pi} как 3.14159265359, что правильно с точностью до 11 десятичных цифр. Этот рекорд побил Персидский математик Джамшид ал-Каши , Который рассчитал π {\ displaystyle \ pi} с точностью до 16 десятичных цифр. [10]

Первый значительный европейский вклад со времен Архимеда сделал немецкий математик Лудольф ван Цейлен (1536-1610). Он потратил десять лет на вычисление числа π {\ displaystyle \ pi} с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он доказал удвоение к n-угольника, где n = 60 · 229. Изложив свои результаты в сочинении «О круге» ( «Van den Cirkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть желание, пусть идет дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены еще 15 точных цифр числа π {\ displaystyle \ pi} . Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. [11] В честь его число π {\ displaystyle \ pi} иногда называли «лудольфовим числом».

Примерно в то же время в Европе появились методы расчета бесконечных рядов и произведений. Первым таким представлением была формула Виета:

2 π = 2 2 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 + 2 + 2 2 ⋅ ⋯ {\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdot \ cdots \!}

которую нашел Виет в 1593 году. Другой известный результат - это формула Валлиса:

π 2 = Π k = 1 ∞ (2 k) 2 (2 k) 2 - 1 = 2 1 ⋅ 2 марта ⋅ 3 апреля ⋅ 5 апреля ⋅ 6 мая ⋅ 6 июля ⋅ 8 Июля ⋅ 9 августа ⋯ = 4 марта ⋅ 16 15 ⋅ 36 35 ⋅ 64 63 ⋯ {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2k) ^ {2}} {( 2k) ^ {2} 1}} = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8 } {9}} \ cdots \ = {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {16} {15}} \ cdot {\ frac {36} {35}} \ cdot {\ frac {64 } {63}} \ cdots \!}

найдена Валлис в 1655.

Исаак Ньютон вывел arcsin ряд для π {\ displaystyle \ pi} в 1665-66 и рассчитал 15 цифр:

π = 6 arcsin ⁡ 1 2 = 6 (1 2 1 ⋅ 1 + (1 2) 1 2 3 ⋅ 3 + (1 ⋅ 2 марта ⋅ 4) 1 2 5 ⋅ 5 + (1 ⋅ 3 ⋅ 2 мая ⋅ 4 ⋅ 6) 1 2 7 ⋅ 7 + ⋯) = 3 Σ n = 0 ∞ (2 nn) 16 n (2 n + 1) = 3 + 1 8+ 9640 + 15 7168 + 35 98304 + 189 2883584 + 693 54525952 + 429 167772160 + ⋯ {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ pi & = 6 \ arcsin {\ frac {1} {2}} \\ & = 6 \ left ({\ frac {1} {2 ^ {1} \ cdot 1}} + \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) {\ frac {1} {2 ^ {3} \ cdot 3}} + \ left ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ right) {\ frac {1} {2 ^ {5} \ cdot 5}} + \ left ({\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ right) {\ frac {1} {2 ^ {7} \ cdot 7}} + \ cdots \ right) \\ & = 3 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} { \ frac {\ binom {2n} {n}} {16 ^ {n} (2n + 1)}} \\ & = 3 + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {9} {640 }} + {\ frac {15} {7168}} + {\ frac {35} {98304}} + {\ frac {189} {2883584}} + {\ frac {693} {54525952}} + {\ frac {429} {167772160}} + \ cdots \ end {aligned}}}

хотя он позже признал: «Мне стыдно говорить как много раз я выполнил эти расчеты, не делал никаких других дел все это время». [12] Он сходится линейно к π {\ displaystyle \ pi} со скоростью восхождения μ, которая добавляет минимум три десятичные цифры за каждые 5 слагаемых. Когда n стремится в бесконечность, μ приближается 1/4 и 1 / μ приближается к 4:

μ = (2 n - 1) 2 августа n (2 n + 1); 1 μ = 8 n (2 n + 1) (2 n - 1) 2 {\ displaystyle \ mu = {\ frac {(2n-1) ^ {2}} {8n (2n + 1)}} {\ frac {1} {\ mu}} = {\ frac {8n (2n + 1)} {(2n-1) ^ {2}}}} .

В 1706 Джон Мачин был первым, кто рассчитал 100 десятичных цифр числа π {\ displaystyle \ pi} , Используя ряды arctan в формуле:

π 4 = 4 arctg 1 5 - arctg 1239 {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \, \ mathrm {arctg} {\ frac {1} {5}} - \ mathrm {arctg} {\ frac {1} {239}}}

где

arctan x = Σ k = 0 ∞ (- 1) kx 2 k + 1 2 k + 1 = x - x 3 марта + x 5 мая - x 7 июля + ⋯ {\ displaystyle \ arctan \, x = \ sum _ { k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = x - {\ frac {x ^ {3}} {3 }} + {\ frac {x ^ {5}} {5}} - {\ frac {x ^ {7}} {7}} + \ cdots \!}

разложив арктангенс в ряд Тейлора , Можно получить ряд быстро сходится и пригоден для вычисления числа π {\ displaystyle \ pi} с большей точностью. Эйлер, автор обозначения π {\ displaystyle \ pi} , Получил 153 верных знаки.

В 1777 году Бюффон предложил статистический метод вычисления числа пи, известный как пример Бюффона .

В 1873 году англичанин В. Шэнкс, после 15 лет работы, вычислил 707 знаков; правда, из-за ошибки только первые 527 из них были правильными. Чтобы предотвратить подобных ошибок, современные вычисления такого рода осуществляются дважды. Если результаты совпадают, то они со значительной вероятностью правильные. Ошибку Шенкса было обнаружено в 1948 году одним из первых компьютеров , Им же за несколько часов было вычислен 808 знаков π {\ displaystyle \ pi} .

Теоретические достижения в 18-м века привели к постижению природы числа π {\ displaystyle \ pi} , Чего не удалось бы достичь только самыми числовыми расчетами. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность π {\ displaystyle \ pi} 1761, а Лежандр 1774 доказал иррациональность π {\ displaystyle \ pi} 2. Тогда как Леонард Эйлер 1735 решил знаменитую базельскую задачу и в результате нашел точное значение Римановой дзета-функции для числа 2.

ζ (2) = Σ k = 1 ∞ 1 k 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {\ displaystyle \ zeta (2) \ sum _ {k = 1} ^ { \ infty} {\ frac {1} {k ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots \!}

равной π {\ displaystyle \ pi} 2/6, так он открыл одну из самых известных формул природного связи между π {\ displaystyle \ pi} и простыми числами . Оба Лежандр и Эйлер предполагали, что число π {\ displaystyle \ pi} должно быть трансцендентное , Что в итоге доказал Фердинанд фон Линдеман 1882.

Вычисления в эпоху компьютеров [ ред. | ред. код ]

Практически физикам нужно только 39 цифр числа π {\ displaystyle \ pi} , Чтобы сделать круг размером видим вселенную с точностью до размера атома водорода. [13]

Наступлением эпохи цифровых компьютеров в 20-м веке привело к росту количества новых рекордов в расчете числа π {\ displaystyle \ pi} . Джон фон Нейман и его команда использовали ENIAC чтобы рассчитать 2037 цифр числа π {\ displaystyle \ pi} В 1949 году, этот расчет длился 70 часов. [14] Дополнительные тысячи десятичных разрядов получили в последующие десятилетия, а рубеж в миллион цифр пересекли в 1973 году. Прогресс был вызван не только быстрее компьютерами, но и новыми алгоритмами. Один из самых значительных прорывов было открытие быстрого преобразования Фурье в 1960-х, что позволило компьютерам делать быстро арифметические действия с чрезвычайно большими числами.

В начале 20-го века индийский математик Сриниваса Рамануджан открыл много новых формул для числа π {\ displaystyle \ pi} , Некоторые из них стали знаменитые через свою элегантность и математическую глубину. [15] вычислительные алгоритмы , Основанные на формулах Рамануджан работают очень быстро. Одна из этих формул:

1 π = 2 февраля 9801 Σ k = 0 ∞ (4 k)! (1103 + 26390 k) (k!) 4396 4 k {\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ sum _ { k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(4k)! (1103 + 26390k)} {(k!) ^ {4} \, 396 ^ {4k}}}}

где k! - это факториал k

А вот также подборка других формул: [16] [17]

где

(X) n {\ displaystyle (x) _ {n} \!}

это символ Покхемера для нисходящего факториала.

Формула братьев Чудновский [ ред. | ред. код ]

Связанную формулу открыли брать Чудновский 1987:

1 π = 12 Σ k = 0 ∞ (- 1) k (6 k)! (13591409 + 545140134 k) (3 k)! (K!) 3 640 320 3 k + 3/2 {\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = 12 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} (6k)! (13591409 + 545140134k)} {(3k)! (k!) ^ {3} \, 640320 ^ {3k + 3/2}}}} ,

который дает 14 цифр за один член ряда. [15] Чудновский использовали эту формулу, чтобы установить несколько рекордов по вычисления числа π {\ displaystyle \ pi} в конце 1980-х, включая первым вычислением более 1000000000 (1,011,196,691) знаков 1989 года. Эта формула остается хорошим выбором для расчета π {\ displaystyle \ pi} для программ, работающих на персональном компьютере, в противовес суперкомпьютерам , Которые используют для установки современных рекордов.

Тогда как ряды обычно повышают точность на определенное количество разрядов за каждый член ряда, существуют также алгоритмы, многократно увеличивают количество правильных цифр за каждый подход, с тем недостатком, что каждый шаг требует значительного количества вычислительных ресурсов. Прорыв был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент и Юджин Саламин независимо друг от друга открыли алгоритм Брента-Саламина , В котором используются только арифметические действия для удвоения количества правильных цифр за каждый шаг. [18] На начальном этапе алгоритма установим такие исходные значения:

a 0 = 1 b 0 = 1 2 t 0 = 1 апреля p 0 = 1 {\ displaystyle a_ {0} = 1 \ quad \ quad \ quad b_ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {2} }} \ quad \ quad \ quad t_ {0} = {\ frac {1} {4}} \ quad \ quad \ quad p_ {0} = 1 \!}

и проводим итерации

an + 1 = an + bn 2 bn + 1 = anbn {\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ frac {a_ {n} + b_ {n}} {2}} \ quad \ quad \ quad b_ {n 1} = {\ sqrt {a_ {n} b_ {n}}} \!} tn + 1 = tn - pn (an - an + 1) 2 pn + 1 = 2 pn {\ displaystyle t_ {n + 1} = t_ {n} -p_ {n} (a_ {n} -a_ {n + 1}) ^ {2} \ quad \ quad \ quad p_ {n + 1} = 2p_ {n} \!}

до тех пор, пока an and bn не станут достаточно близки. Тогда оценка значения π {\ displaystyle \ pi} производится по формуле:

π ≈ (a n + b n) 2 апреля t n. {\ Displaystyle \ pi \ approx {\ frac {(a_ {n} + b_ {n}) ^ {2}} {4t_ {n}}}. \!}

Работая по этой схеме, достаточно сделать 25 итераций, чтобы достичь точности 45000000 правильных знаков. Похожий алгоритм, вчетверо увеличивает точность за каждый шаг, нашли Джонатан и Питер Боруейны . [19] Этот метод использовали Ясумаса Канада и его команда, чтобы установить большинство рекордов из расчета числа π {\ displaystyle \ pi} , Начиная с 1980 года вплоть до расчета 206,158,430,000 десятичных знаков числа п 1999 года. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд - 1,241,100,000,000. Хотя большинство предыдущих рекордов были установлены с помощью алгоритма Брента-Саламина, при расчетах 2002 использовали формулы типа Мечиновських, которые хотя и нуждались больше итераций, зато радикально снижали использования памяти. Расчеты делали на суперкомпьютере Hitachi с 64 узлов и с 1 терабайтом оперативной памяти, который был способен выполнять 2 триллиона операций в секунду.

В январе 2010 года рекорд был почти 2.7 триллионов знаков, его установил французский программист Фабрис Беллар на персональном компьютере [20] Это побило предыдущий рекорд 2,576,980,370,000 знаков, установил Дайзуке Такахаши на T2K-Tsukuba System, суперкомпьютер университета Цукуба, что в Токио. [21] 6 августа 2010 в PhysOrg.com опубликовано новость, что японский и американский компьютерные специалисты Шигеру Кондо и Александр Йи заявили, что они рассчитали значения π {\ displaystyle \ pi} к 5000000000000 знаков на персональном компьютере, удвоив предыдущий рекорд. [22]

В 1997 году Дэвид Х. Бейли, Питер Боруейн и Саймон Плафф нашли способ [23] быстрого вычисления произвольной двоичной цифры числа π {\ displaystyle \ pi} без вычисления предыдущих цифр, основанный на формуле

π = Σ i = 0 ∞ 16 января i (4 Августа i + 1 - 2 августа i + 4 - 1 августа i + 5 - 8 января i + 6) {\ displaystyle \ pi = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {i}}} \ left ({\ frac {4} {8i + 1}} - {\ frac {2} {8i + 4}} - {\ frac {1} {8i + 5}} - {\ frac {1} {8i + 6}} \ right)}

Представление в виде цепной дроби [ ред. | ред. код ]

Последовательность из частных знаменателей простого цепной дроби для π {\ displaystyle \ pi} не дает никакой очевидной схемы

π = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, ⋯] {\ displaystyle \ pi = [3, 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84, \ cdots]}

или

π = 3 + 1 7 +1 15 +1 1 + 1292 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\ displaystyle \ pi = 3 + \ textstyle {\ cfrac {1} {7+ \ textstyle {\ cfrac {1} {15+ \ textstyle {\ cfrac {1} {1 + \ textstyle {\ cfrac {1} {292+ \ textstyle {\ cfrac {1} {1 + \ textstyle {\ cfrac {1} {1 + \ textstyle {\ cfrac {1} {1 + \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}

Однако если использовать обобщенные цепные дроби то получим определенные закономерности: [24]

π = 4 1 + 1 2 2 + 3 2 2 + 5 2 2 + 7 2 2 + 9 2 2 + ⋱ = 3 + 1 2 6 + 3 2 6 + 5 2 6 + 7 2 6 + 9 2 6 + ⋱ = 4 1 + 1 2 3 + 2 2 5 + 3 2 7 + 4 2 9 + ⋱ {\ displaystyle \ pi = \ textstyle {\ cfrac {4} {1 + \ textstyle {\ cfrac {1 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ cfrac {3 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ cfrac {5 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ cfrac {7 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ cfrac {9 ^ {2}} {2+ \ ddots}}}}}}}}}}}} = 3 + \ textstyle {\ cfrac {1 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {3 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {5 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {7 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {9 ^ {2 }} {6+ \ ddots}}}}}}}}}} = \ textstyle {\ cfrac {4} {1 + \ textstyle {\ cfrac {1 ^ {2}} {3+ \ textstyle {\ cfrac { 2 ^ {2}} {5+ \ textstyle {\ cfrac {3 ^ {2}} {7+ \ textstyle {\ cfrac {4 ^ {2}} {9+ \ ddots}}}}}}}}} }}

Приближенное значение с точностью до 1000 десятичных знаков:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 4 9999 99 837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 ​​50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989

Простой метод запомнить число π {\ displaystyle \ pi} с точностью до шести значащих цифр после запятой:

выпишем парами первые три натуральных нечетных числа: 113355. разделим список наполовину и поделим второе число на первое: 355113 = 3.141592 ... {\ displaystyle {355 \ over 113} = 3.141592 \ ldots}

Ученые всегда пытались вычислить число π {\ displaystyle \ pi} с максимально возможной точностью. Так, например, в 1949 году с помощью компьютера ENIAC было вычислено число π {\ displaystyle \ pi} до 2037 знаков, а в 1995 - уже 4294960000 знаков.

Непосредственно из определения числа π {\ displaystyle \ pi} как отношение длины окружности к ее диаметру получаем один из возможных методов вычисления этого числа. Определив длину дуги окружности и его диаметр, а затем поделив первое число на второе, получим приближенное значение числа π {\ displaystyle \ pi} . Но точность найденного таким методом значение числа π {\ displaystyle \ pi} зависит от точности измерения длины дуг и отрезков; кроме того, мы никогда не имеем дела с идеальным кругом.

Использование в физике [ ред. | ред. код ]

Число пи, хотя и не является физической константой Очень часто фигурирует в физических формулах, благодаря тому, что в них часто неявно заложены свойства круга, особенно в случае симметрии, при которой удобно использовать полярную , цилиндрическую или сферическую систему координат . Другим источником появления числа пи в физических формулах является использование нормального распределения :

f (x; μ; σ) = 1 σ 2 π exp ⁡ (- (x - μ) 2 2 σ 2) {\ displaystyle f (x; \ mu; \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right)}

и преобразований Фурье , Основанных на соотношении:

∫ - ∞ ∞ ei (ω '- ω) tdt = 2 π δ (ω' - ω) {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i (\ omega ^ {\ prime} - \ omega) t} dt = 2 \ pi \ delta (\ omega ^ {\ prime} - \ omega)} ,

где δ (x) {\ displaystyle \ delta (x)} - дельта-функция Дирака .

Более глубокий математический рассмотрение дает основания утверждать, что такие свойства тоже связаны с кругом и полярной или сферической симметрией, например через тригонометрические функции .

• Во многих университетах США отмечается День числа Пи , Который приходится на 14 марта , Поскольку в американской форме записи дат она выглядит - 3/14.
• 14 марта 1592 6:53:58 - это идеальное время Дня числа Пи. Если эту дату и время записать в американском формате - 3,14 1592 6:53:58, то записан порядок цифр совпадает с первыми 12 цифрами в числе Пи. [1]
• В августе 2009 года японские ученые вычислили число «пи» с точностью до 2 триллионов 576 000 000 000 980 377 000 524 знаков после запятой [25] .
• Интересным фактом является то, что День числа Пи совпадает с днем ​​рождения выдающегося ученого Альберта Эйнштейна . [26]
• В дворце открытий [Fr] (Музей науки в Париже) существует круговая комната, которая называется «пи-комната». На ее стене вписано 707 цифр π. Эти цифры были основаны на расчете 1853 английского математика Уильяма Шенкса [En] , Содержащий ошибку, начиная с 528-й цифры. Это ошибка была обнаружена 1946 и исправлено 1949 года. [27] [28]
• Раджвир Мина в 2015 году установил мировой рекорд по запоминания числа «пи», правильно назвав из памяти 67890 цифр после запятой [ источник? ].
• В мире идет соревнование среди программистов - чей компьютер определит наиболее цифр числа «пи». Рекордсменом сейчас является Александр Джей Йи, который в 2014 году определил аж 13 300 000 000 000 знаков после запятой. Для этого его компьютер непрерывно работал 208 дней [ источник? ].

1. ↑ а б Сегодня - День числа Пи zik.ua 14.03.2017
2. ↑ George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy (1999). Special Functions. Cambridge University Press . с. 58. ISBN 0-521-78988-5 .
3. ↑ Gupta, RC (1992). On the remainder term in the Madhava-Leibniz's series. Ganita Bharati 14 (1-4): 68-71.
4. ↑ About Pi . Ask Dr. Math FAQ. архив оригинала 2013-06-23.
5. ↑ Borwein, Jonathan M .; David H. Bailey (2 edition (27 Oct 2008)). Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century . AK Peters. с. 103, 136, 137. ISBN 978-1568814421 .
6. ↑ C. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, p. 168.
7. ↑ а б в C. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, p. 202.
8. ↑ George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy (1999). Special Functions. Cambridge University Press . с. 58. ISBN 0521789885 .
9. ↑ Gupta, RC (1992). On the remainder term in the Madhava-Leibniz's series. Ganita Bharati 14 (1-4): 68-71.
10. ↑ Joseph, George Gheverghese (October 2010) [1991]. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Изд. 3rd). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13526-7 .
11. ↑ Charles Hutton (1811). Mathematical Tables; Containing the Common, Hyperbolic, and Logistic Logarithms ... . London: Rivington. с. 13.
12. ↑ Gleick, James (1987-03-08). Even Mathematicians Can Get Carried Away . New York Times. архив оригинала 2013-06-23.
13. ↑ Young, Robert M. (1992). Excursions in Calculus . Washington: Mathematical Association of America (MAA). с. 417. ISBN 0883853175 .
14. ↑ «An {ENIAC} Determination of pi and e to more than 2000 Decimal Places», Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (29), pp. 11-15. (January, 1950)
    «Statistical Treatment of Values ​​of First 2,000 Decimal Digits of e and of pi Calculated on the ENIAC», Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (30), pp. 109-111. (April, 1950)
15. ↑ а б The constant π {\ displaystyle \ pi} : Ramanujan type formulas . архив оригинала 2013-06-23.
16. ↑ Simon Plouffe / David Bailey. The world of Pi . Pi314.net. архив оригинала 2013-06-23.
17. ↑ Collection of series for pi . Numbers.computation.free.fr. архив оригинала 2013-06-23.
18. ↑ Brent, Richard (1975). Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation . В Traub, J F. Analytic Computational Complexity (New York: Academic Press). с. 151-176.
19. ↑ Borwein, Jonathan M ; Borwein, Peter; Berggren, Lennart (2004). Pi: A Source Book. Springer. ISBN 0387205713 .
20. ↑ Pi calculated to 'record number' of digits . bbc.co.uk. 2010-01-06.
21. ↑ Pi-obsessed Japanese reach 2.5 trillion digits 2009-08-20
22. ↑ 5 Trillion Digits of Pi - New World Record
23. ↑ ON THE RAPID COMPUTATION OF VARIOUS POLYLOGARITHMIC CONSTANTS
24. ↑ Lange, LJ (May 1999). An Elegant Continued Fraction for π {\ displaystyle \ pi} . The American Mathematical Monthly 106 (5): 456-458. doi : 10.2307 / 2589152 .
25. ↑ Японцы побили рекорд по точности вычисления числа Пи (Рус.)
26. ↑ День числа Пи: 14 мар празднуют найматематичнише праздник мира - 24 Канал . 24 Канал.
27. ↑ Posamentier, Alfred S .; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number . Prometheus Books. с. 118. ISBN 978-1-59102-200-8 . (Англ.)
28. ↑ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi Unleashed . Springer-Verlag. с. 50. ISBN 978-3-540-66572-4 . English translation by Catriona and David Lischka. (Англ.)

• Beckmann, Petr (1989). A History of Pi. Barnes & Noble Publishing. ISBN 0-88029-418-3 . (Англ.)
• Жуков А. В. вездесущему число «пи». Изд.3 2009 (рус.)
• Кузько Кузякин. Что такое математика. - Харьков, "Юнисофт", 2018